（有限とは限らない1）群$G$とその部分群$H$、その正規部分群$K$をとり、$H/K$が可換になるとする（たとえば交換子群$K=[H,H]$など）。このとき、移送とよばれる写像$V\colon G\to H/K$が定義できるということをみる。2
定義
$T\subset G$を右剰余類に関する完全代表系とする。すなわち
\[G=\coprod_{t\in T}tH\]
と表したとき、各$x\in G,t\in T$に対して（$xt\in t'H$となる$t'$が一意に存在するので）ある$t'\in T,h\in H$が一意に存在して$xt=t'h$が成り立つ。この対応を$f_x^T(t)=t',h_x^T(t)=h$と書くことにして、$V\colon G\to H/K$を
\[V(x):=\prod_{t\in T} h_x^T(t)K\]
で定める（$H/K$はアーベル群なので、この定義は右辺の積の順番には依らない）。このとき次の命題を示したい。
命題1：この写像は$T$に依らずに定まる準同型である。
$f_x^T, h_x^T$の性質
この記事ではまず$f_x^T, h_x^T$が満たす関係式を求める。
補題2：$f_x^T\colon T\to T$はT上の置換である。
証明：（単射性）$f_x^T(t_1)=f_x^T(t_2)$とすると、
\begin{align*}xt_1&=f_x^T(t_1)h_x^T(t_1)\\&=f_x^T(t_2)h_x^T(t_1)\\&=f_x^T(t_2)h_x^T(t_2)h_x^T(t_2)^{-1}h_x^T(t_1)\\&=xt_2h_x^T(t_2)^{−1}h_x^T(t_1)\end{align*}
なので$t_1=t_2h′$（ただし$h′=hTx(t2)−1hTx(t1)\in H$）である。$t1,t2$はHの右剰余類の完全代表系なので、$t1=t2$である。
（全射性）任意の$t′\in T$に対して、$t:=x^{−1}t′$とおけば、$xt=t′=t′1\in t′H$なので$f_x^T(t)=t′$である。［補題2の証明終わり］
補題3：$f_{xy}^T(t)=f_x^T(f_y^T(t)),h_{xy}^T(t)=h_x^T(f_y^T(t))h_y^T(t)$が成り立つ。
証明：定義から$f_x^T(f_y^T(t))h_x^T(f_y^T(t))h_y^T(t)=xf_y^T(t)h_y^T(t)=xyt$となるが、このように書き表す方法が一意的だったので主張が従う。［補題3の証明終わり］
補題4：$S,T\subset G$を右剰余類に関する完全代表系として、$\varphi\colon T\to S$を「同じ剰余類の代表元に移す写像」（つまり$\{\varphi(t)\}=S\cap tH$で定まる写像）とし、$h\colon T\to H$を$\varphi(t)=th(t)$で定めると、$h_x^S(\varphi(t))=h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)$が成り立つ。
証明：まず次の等式が成り立つ。
\begin{align*}x\varphi(t)&=xth(t)\\&=f_x^T(t)h_x^T(t)h(t)\\&=f_x^T(t)h(f_x^T(t))h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)\\&=\varphi(f_x^T(t))h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)\end{align*}
この式で$\varphi(f_x^T(t))\in S, h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)\in H$なので、このように書き表す方法が一意的であることから主張が従う。［補題4の証明終わり］
命題1の証明
（準同型性）
補題2（$f_y^T$は置換）と補題3（$h_{xy}^T(t)=h_x^T(f_y^T(t))h_y^T(t)$）を用いると、
\begin{align*}V(xy)&=\prod_{t\in T}h_{xy}^T(t)K\\&=\prod_{t\in T}h_x^T(f_y^T(t))h_y^T(t)K\\&=\prod_{t\in T}h_x^T(f_y^T(t))K\prod_{t\in T}h_y^T(t)K\\&=\prod_{t\in T}h_x^T(t)K\prod_{t\in T}h_y^T(t)K\\&=V(x)V(y)\end{align*}
が成り立つ。
（$T$についてwell-definedであること）
補題2（$f_y^T$は置換）と補題4（$h_x^S(\varphi(t))=h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)$）を用いると、
\begin{align*}\prod_{s\in S} h_x^S(s)K&=\prod_{t\in T} h_x^S(\varphi(t))K\\&=\prod_{t\in T} h(f_x^T(t))^{-1}h_x^T(t)h(t)K\\&=\prod_{t\in T} h(f_x^T(t))^{-1}K\prod_{t\in T} h_x^T(t)K\prod_{t\in T} h(t)K\\&=\left(\prod_{t\in T} h(f_x^T(t))K\right)^{-1}\prod_{t\in T} h_x^T(t)K\left(\prod_{t\in T} h(t)K\right)\\&=\prod_{t\in T} h_x^T(t)K\end{align*}
が成り立つ。
したがって命題1が成り立つ。［命題1の証明終わり］
参考文献
この記事は[suzuki]のp522-523から証明を一部補ったものです。
[suzuki]鈴木通夫, 「群論 下」, 現代数学19, 岩波書店, 1978